Drohnen: Maximale Flughöhe eines Quadrocopters

Wie leistungsfähig sind Drohnen? Wären diese überhaupt für den Paketversand oder andere Aufgaben geeignet? Der technische Querdenker Dirk Brunner mit einem wissenschaftlichen Artikel zu Quadrocoptern.

Eignen sich Quadrocopter für die Höhenforschung oder die Aufnahme von Luftbildern aus großen Höhen? Anhand von theoretischen Betrachtungen und mit praktischen Daten des „DJI Phantom 2 Vision“ wird in diesem Fachartikel die maximal erreichbare Höhe mit einem Quadrocopter untersucht. Abschließend werden Optimierungsmöglichkeiten aufgezeigt um mit einem Copter in große Höhen aufsteigen zu können.

Bitte beachten Sie die entsprechenden Vorschriften. Alle Angaben ohne Gewähr und unter Ausschluss jeglicher Haftung.

Quadrocopter langsam
Foto: Dirk Brunner; Lizenz: CC BY SA 3.0

Beispiel-Quadrocopter

Um die Idee des Höhenflugs mit einem Quadrocopter (oder Modellhelikopter) zu bewerten sind Eckdaten aus der Praxis erforderlich, mit denen schrittweise weitergearbeitet wird. Dieser Fachartikel ist, soweit möglich, leicht verständlich geschrieben. Hintergrundwissen und weitere Informationen finden Sie im Anhang.

Durchführung Höhenflug

Der Quadrocopter wird bei dem Höhenflug autark arbeiten. Mittels GPS steigt er senkrecht über der Startposition so weit wie möglich nach oben bis der Akku nahezu leer ist. Danach erfolgt ein kontrollierter Sturzflug, bei dem die Rotoren für eine stabile Fluglage entsprechend gebremst werden. Dies funktioniert nur bei Motoren mit geringem Rastmoment. Energierückgewinnung ist möglich. Kurz vor dem Boden wird das Modell abgefangen und sicher gelandet. So weit die Theorie.

Technisch limitierende Faktoren bei einem solchen Höhenflug sind:

  • Abnahme der Luftdichte mit steigender Höhe. Propeller müssen schneller drehen und die maximale Drehzahl der Propeller (bzw. Motor/Regler) wird erreicht
  • Akkukapazität
  • Umgebungstemperatur
  • Gesamter Wirkungsgrad des Modells
  • Gewicht

Luftdruck und Propellerdrehzahl

Der Luftdruck nimmt mit der Höhe ab, weshalb die Drehzahl der Propeller, bei gleichem Schub, erhöht werden muss (siehe Herleitung 1 im Anhang).

Je höher das Flugmodell steigt, umso schneller müssen sich die Propeller drehen. Dies bedeutet, dass ein Propeller, der sich auf Meereshöhe mit 8000 Umdrehungen pro Minute dreht, in 2000 Metern Höhe über NHN (Normalhöhennull, Höhe über dem Meeresspiegel) mit 9120 U/min drehen muss um den gleichen Standschub zu erzeugen (einfache Betrachtung ohne Temperatureinfluss). Die Drehzahl des Propellers kann nicht beliebig gesteigert werden, da ansonsten der Propeller beschädigt wird. Motor und Regler besitzen ebenfalls eine maximale Drehzahl. Aus dem Diagramm 1 ist der Zusammenhang zwischen Propellerdrehzahl und Luftdruck ersichtlich. Eckdaten von Höhenflug tauglichen Quadrocoptern in Tabelle 1.

Luftdruck, Höhe, Propellerdrehzahl
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Diagramm 1 – Luftdruck, Höhe, Propellerdrehzahl

Wert Beispielcopter DJI Phantom 2 Vision
  Schubeffizienz ηSchub 4 g/W 4 g/W
  Abfluggewicht m 2,5 kg 1,16 kg
  Antrieb Eingangsleistung 4 x 600 W 4 x 140 W
  Akkutechnologie LiPo LiPo
  Zellenzahl 6S (22,2 V) 3S (11,1 V)
  Akkukapazität 4,9 Ah 5,2 Ah
  Energieinhalt Akku 391 kJ 208 kJ
  Akkugewicht 750 g 367 g
  cw-Wert 0,9 0,9
  Strömungswirksame Fläche A 0,04 m2 0.026 m2
  Systemwirkungsgrad ηSystem 30% 30%

Tabelle 1 – Höhenflugtaugliche Quadrocopter

Optimale Steigrate

Folgende Überlegung lässt vermuten, dass es eine optimale Steigrate (Steiggeschwindigkeit) für den Copter gibt:

  • Im Schwebeflug wird Akkuenergie nicht in Höhe umgesetzt.
  • Bei einem sehr schnellem Steigflug nimmt der Luftwiderstand mit der Steiggeschwindigkeit quadratisch stark zu, wodurch viel Energie zur Überwindung des Luftwiderstands benötigt wird.

Um die Frage der optimalen Steigrate beantworten zu können ist es notwendig einen (Quadro-) Copter mathematisch / physikalisch näher zu betrachten.

Schubkraft Propeller

Die Schubkraft die ein Propeller erzeugt lässt sich mit folgender Formel ermitteln:

Schubkraft Propeller Berechnung

Sie können sich die Formel so vorstellen, dass der Propeller in festen Zeiteinheiten Δt Luftmassenpakete mit der Masse mLuft und der Geschwindigkeit vLuft,out nach unten schleudert. Bewegt sich der Propeller mit vLuft,in durch die Luft, muss er die Luftmassenpakete vorher einfangen. Je größer der Geschwindigkeits­unterschied und die Masse der Luftpakete ist, umso größer ist der erzeugte Schub.

Wirkungsgrad der Steigleistung

Der Wirkungsgrad für die Steigleistung wird bestimmt mit:

Wirkungsgrad der Steigleistung

Je größer ηSteigleistung ist, um so effizienter wird die (Akku-) Energie in Höhe umgesetzt. Der Zusammenhang zwischen Wirkungsgrad, Steiggeschwindigkeit und Höhe ist bei unserem Beispiel-Quadrocopter aus Diagramm 2 abzulesen.

Wirkungsgrad Steiggeschwindigkeit

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Diagramm 2 – Wirkungsgrad Steiggeschwindigkeit über NHN

Mit steigender Höhe nimmt der Luftwiderstand ab, da die Luftdichte geringer wird. Der Luftwiderstand fällt dadurch weniger ins Gewicht, weshalb mit steigender Höhe der Wirkungsgrad zunimmt. Aus dem Diagramm 2 ist ersichtlich, dass bei geringen Steiggeschwindigkeiten der Wirkungsgrad stark nachlässt. Beim Schweben (Steiggeschwindigkeit = 0 m/s) ist der Wirkungsgrad der Steigleistung erwartungsgemäß null, da keine Höhe gewonnen wird.

Die optimale Steiggeschwindigkeit

Mit Hilfe der Mathematik lässt sich die optimale Steiggeschwindigkeit aus ηSteigleistung in Abhängigkeit der Höhe berechnen. Siehe hierzu Diagramm 3.

Optimale Steiggeschwindigkeit Quadrocopter

Diagramm 3 – Optimale Steiggeschwindigkeit

Die Steigrate, um im optimalen Wirkungsgrad zu bleiben, ist enorm. Auf Meereshöhe wäre dies bei unserem Beispielcopter eine vertikale Steiggeschwindigkeit von 120 km/h. Beim „DJI Phantom 2 Vision“ sind es immerhin gut 100 km/h. Laut Hersteller schafft das Modell maximal 22 km/h vertikale Steiggeschwindigkeit. Somit kann das Modell nicht mit optimalem Wirkungsgrad steigen.

Benötigte Motorleistung für die optimale Steiggeschwindigkeit

Die benötigte Motorenleistung für den Beispiel-Copter, um die optimale Steigrate zu halten, ist in Abhängigkeit der Höhe aus Diagramm 4 ersichtlich.

Benötigte Motorleistung in Abhängigkeit der Höhe

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Diagramm 4 – Benötigte Motorleistung in Abhängigkeit der Höhe

Unser Beispiel-Quadrocopter hat maximal 2400 W Motoreingangsleistung. Dies genügt nicht, um einen Steigflug mit optimalem Wirkungsgrad zu ermöglichen. Der Wirkungsgrad bricht jedoch erst bei geringen Steigraten deutlich ein. Mit 2400W schafft unser Modell in Abhängigkeit der Höhe die Steigraten im Diagramm 5.

Steiggeschwindigkeit Beispielcopter 2400 Watt

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Diagramm 5 – Steiggeschwindigkeit Beispielcopter 2400 Watt

Das Modell bewegt sich mit 2400 W Motoreingangsleistung nicht im optimalen Steigratenbereich von 34 m/s auf Meereshöhe, sondern erreicht  19 m/s auf Meereshöhe. Der Wirkungsgrad, die Akkuenergie in Höhe umzuwandeln, sinkt dadurch von etwa 22% auf ca. 20%.

Der „DJI Phantom 2 Vision“ hat maximal 560 W Motoreingangsleistung. Die berechnete Steigleistung auf Meereshöhe liegt (Diagramm 6) mit dieser Motorisierung bei ca. 6,8 m/s. Optimal wären 29 m/s. Der Wirkungsgrad des „DJI Phantom 2 Vision“ sinkt damit von etwa 19% auf ca. 13%.

Steiggeschwindigkeit DJI Phantom 2 Vision

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Diagramm 6 – Steiggeschwindigkeit DJI Phantom 2 Vision

Ausströmgeschwindigkeiten am Propeller

Die maximale (Steig-) Geschwindigkeit ist begrenzt durch die Kombination von Propellersteigung und Drehzahl. Dadurch ergeben sich entsprechende Ausströmgeschwindigkeiten am Propeller wie aus Diagramm 7 ersichtlich.

Luftgeschwindigkeiten am Propeller

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Diagramm 7 – Luftgeschwindigkeiten am Propeller

In der Realität ist die Luftgeschwindigkeit aufgrund von Strömungsverlusten ca. 10% geringer als angegeben. Der vom Propeller erzeugte Luftstrom muss deutlich schneller sein, als die Aufstiegsgeschwindigkeit von gut 70 km/h (19 m/s). Die Steigung des Propellers sollte demnach mindestens 8 Zoll bei einer Drehzahl von etwa 8000 1/min betragen.

Maximale Steighöhe

Der Energiegehalt des Akkus von dem Beispielcopter beträgt 390 kJ und der des „DJI Phantom 2 Vision“ 208 kJ. Da das Modell für den Sinkflug sowie das Abfangen in Bodennähe weitere Energie benötigt, stehen für den Steigflug etwa 350 kJ bzw. 180 kJ zur Verfügung. Wenn bei dem Sinkflug über die Propeller Energie zurückgewonnen wird, kann noch mehr Akkuenergie für den Aufstieg verwendet werden.

Der Beispiel Quadrocopter kann damit von Meereshöhe etwa auf 2800 m Höhe aufsteigen (Diagramm 8) und beispielsweise Luftaufnahmen anfertigen. Der „DJI Phantom 2 Vision“ schafft 2300 m Höhe (Diagramm 9).

Energieverbrauch Steigen Beispielcopter 2400 Watt

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Diagramm 8 – Energieverbrauch Steigen Beispielcopter 2400 Watt

Energieverbrauch Steigen beim DJI Phantom 2 Vision

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Diagramm 9 – Energieverbrauch Steigen beim DJI Phantom 2 Vision

Quadrocopter Steighöhen im Vergleich

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Zeitdauer für den Aufstieg

Um in diese Höhe vorzudringen werden etwa 140 Sekunden (Diagramm 10) bzw. 320 Sekunden (Diagramm 11) beim „DJI Phantom 2 Vision“ benötigt. Danach ist der Akku fast leer.

Zeitdauer Beispielcopter 2400 W bis Höhe erreicht ist

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Diagramm 10 – Zeitdauer Beispielcopter 2400 W

Zeitdauer beim DJI Phantom 2 Vision

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Diagramm  11 – Zeitdauer beim DJI Phantom 2 Vision

Flugdaten der Quadrocopter

Daten des Fluges mit dem Beispielcopter und „DJI Phantom 2 Vision“ sind in Tabelle 2 angegeben.

Wert Beispielcopter DJI Phantom 2 Vision
  Maximale Höhe über NHN in m 2800 2300
  Benötigte Zeit für den Aufstieg in s 150 310
  Elektrische Leistungsaufnahme in W 2200 540
  Akkuenergieinhalt bei maximaler Höhe 10% 10%
  Gesamtstromaufnahme im Steigflug in A 100 50

Tabelle 2 – Flugdaten der Quadrocopter

Wert Max. Höhe über NHN in m Höhengewinn in m
  Beispielcopter 2800 0
  Beispielcopter 10% leichter 3200 +400
  Beispielcopter 10% besserer cw-Wert 2900 +100
  Beispielcopter 10% besserer ηSchub 3000 +200
  Beispielcopter 10% besserer ηSystem 3100 +300
  Beispielcopter 10% geringere Fläche 2900 +100
  Stark optimierter Copter 4700 +1900

Tabelle 3 – Optimierung Quadrocopter

Optimierter Quadrocopter

Die technischen Daten eines optimierten Quadrocopters sehen Sie in Tabelle 4. Dieser Copter schafft eine Höhe von 4700 m über NHN.

Schneller Quadrocopter

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Schneller Quadrocopter

Wert Optimierter Copter
  Schubeffizienz ηSchub 5 g/W bzw. 0,05 N/W
  Abfluggewicht (mit Nutzlast) m 2,0 kg
  Antrieb Dauereingangsleistung 4 x 600 W
  Akkutechnologie LiPo
  Zellenzahl 6s (22,2 V)
  Akkukapazität 4,9 Ah
  Energieinhalt Akku 391 kJ (94 kcal)
  Akkugewicht 750 g
  cw-Wert 0,5
  Strömungswirksame Fläche A 0,04 m2
  Systemwirkungsgrad ηSystem 35%
  Maximale Höhe 4700 m über NHN

Tabelle 4 – Optimierter Quadrocopter

Fazit

Mit dem Beispiel-Quadrocopter sind maximale Flughöhen von über 2000 m Höhe möglich. In dieser Höhe lassen sich bereits eindrucksvolle Luftaufnahmen anfertigen. Speziell ausgelegte Quadrocopter schaffen fast 5000 m Höhe. Solche Flugmodelle können in Zukunft vielfältig eingesetzt werden für

  • Die einfache und kostengünstige Erforschung der untersten Troposphäre.
  • Kartographie und Luftaufnahmen
  • Transport im Gebirge (z.B. Medikamente oder Notrationen für Bergsteiger in Not)

Welche weiteren Einsätze möglich sind, wird die Zukunft zeigen.

Symbol Einheit Bedeutung
  α ° Anstellwinkel des Propellers gemessen bei etwa 0,7 x Radius
  ηSchub 1 Wirkungsgrad der Schuberzeugung
  ηSystem 1 Wirkungsgrad des gesamten Modells, mit dem die Akkuenergie in Höhe umgewandelt wird.
  π 1 Kreiszahl
  ρ kg/m3 Luftdichte
  Δt s Zeitintervall
  A m2 Strömungswirksame Fläche des Modells
  cw 1 Strömungswiderstandskoeffizient (cw-Wert)
  D m Durchmesser der Luftschraube
  Ekin,Luft J Kinetische Energie der Luft
  F N Schubkraft bzw. Kraft
  h m Höhe
  m kg Abfluggewicht (mit Nutzlast) bzw. Masse
  mLuft kg Luftmasse
  n 1/s Drehzahl des Propellers
  p(h) Pa Luftdruck in Abhängigkeit der Höhe
  P W Elektrische Leistung
  S m Steigung des Propellers
  vLuft m/s Geschwindigkeit der durch die Luftschraube beschleunigten Luftmasse
  vsteigen m/s Steiggeschwindigkeit des Modells senkrecht nach oben
  vtangential m/s Tangentialgeschwindigkeit des Propelles gemessen bei etwa 0,7 x Radius

Tabelle 5 – Legende

Für Fragen zur Durchführung, Optimierung oder Berechnung von Höhenflügen stehe ich Ihnen gerne zur Verfügung.

Die Herleitungen und weitere Formeln können Sie in dem zuerst erschienen Original Artikel von Dirk Brunner abrufen.

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